Что называется случайной величиной х. Дискретные случайные величины

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

Методические указания

по изучению темы «Случайные величины» студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения образования (НИСПО)

Горки, 2013

Случайные величины

Дискретные и непрерывные случайные величины

Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие случайной величины . Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания из множества возможных своих значений принимает только одно, причём заранее неизвестно, какое именно.

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными . Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется случайная величина, которая может принимать конечное число изолированных друг о друга значений, т.е. если возможные значения этой величины можно пересчитать. Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется случайная величина, все возможные значения которой сплошь заполняют некоторый промежуток числовой прямой.

Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z и т.д. Возможные значения случайных величин обозначаются соответствующими малыми буквами.

Запись
означает «вероятность того, что случайная величина Х примет значение, равное 5, равна 0.28».

Пример 1 . Один раз бросают игральный кубик. При этом могут выпасть цифры от 1 до 6, обозначающие число очков. Обозначим случайную величину Х ={число выпавших очков}. Эта случайная величина в результате испытания может принять только одно из шести значений: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Следовательно, случайная величина Х есть ДСВ.

Пример 2 . При бросании камня он пролетает некоторое расстояние. Обозначим случайную величину X ={расстояние полёта камня}. Эта случайная величина может принять любое, но только одно, значение из некоторого промежутка. Следовательно, случайная величина Х есть НСВ.

Закон распределения дискретной случайной величины

Дискретная случайная величина характеризуется значениями, которые она может принимать, и вероятностями, с которыми эти значения принимаются. Соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и соответствующими им вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины .

Если известны все возможные значения
случайной величины Х и вероятности
появления этих значений, то считают, что закон распределения ДСВ Х известен и он может быть записан в виде таблицы:

Закон распределения ДСВ можно изобразить графически, если в прямоугольной системе координат изобразить точки
,
, …,
и соединить их отрезками прямых линий. Полученная фигура называется многоугольником распределения.

Пример 3 . В зерне, предназначенном для очистки, содержится 10% сорняков. Наугад отобраны 4 зерна. Обозначим случайную величину X ={число сорняков среди четырёх отобранных}. Построить закон распределения ДСВ Х и многоугольник распределения.

Решение . По условию примера . Тогда:

Запишем закон распределения ДСВ Х в виде таблицы и построим многоугольник распределения:

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Наиболее важные свойства дискретной случайной величины описываются её характеристиками. Одной из таких характеристик является математическое ожидание случайной величины.

Пусть известен закон распределения ДСВ Х :

Математическим ожиданием ДСВ Х называется сумма произведений каждого значения этой величины на соответствующую вероятность:
.

Математическое ожидание случайной величины приближённо равно среднему арифметическому всех её значений. Поэтому в практических задачах часто за математическое ожидание принимают среднее значение этой случайной величины.

Пример 8 . Стрелок выбивает 4, 8, 9 и 10 очков с вероятностями 0.1, 0.45, 0.3 и 0.15. Найти математическое ожидание числа очков при одном выстреле.

Решение . Обозначим случайную величину X ={число выбитых очков}. Тогда . Таким образом, ожидаемое среднее значение числа выбитых очков при одном выстреле равно 8.2, а при 10 выстрелах – 82.

Основными свойствами математического ожидания являются:

.

.

, где
,
.

.

, где Х и Y

Разность
называется отклонением случайной величины Х от её математического ожидания. Эта разность является случайной величиной и её математическое ожидание равно нулю, т.е.
.

Дисперсия дискретной случайной величины

Для характеристики случайной величины, кроме математического ожидания, используется и дисперсия , которая даёт возможность оценить рассеяние (разброс) значений случайной величины около её математического ожидания. При сравнении двух однородных случайных величин с равными математическими ожиданиями «лучшей» считается та величина, которая имеет меньший разброс, т.е. меньшую дисперсию.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: .

В практических задачах для вычисления дисперсии используют равносильную формулу .

Основными свойствами дисперсии являются:

.

.

, где Х и Y – независимые случайные величины.

Дисперсия характеризует разброс случайной величины около её математического ожидания и, как видно из формулы, измеряется в квадратных единицах по сравнению с единицами самой случайной величины. Поэтому для согласования единиц измерения разброса случайной величины с единицами измерения самой величины вводится среднее квадратическое отклонение
.

Пример 9 . Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение ДСВ Х , заданной законом распределения:

Решение . Дисперсия ДСВ Х вычисляется по формуле

Найдём математическое ожидание данной случайной величины: . Запишем закон распределения для случайной величины
:

,
.

Вопросы для самоконтроля знаний

Что называется случайной величиной?

Какая случайная величина называется дискретной, а какая – непрерывной?

Что называется законом распределения дискретной случайной величины?

Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины и каковы его основные свойства?

Что называется отклонением случайной величины от её математического ожидания?

Что называется дисперсией дискретной случайной величины и каковы её основные свойства?

Для чего вводится среднее квадратическое отклонение и как оно вычисляется?

Задания для самостоятельной работы

Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения F (X ) . Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [A , B ].

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называется определенный интеграл

Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:

При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится.

Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:

Определение. Средним квадратичным отклонением Называется квадратный корень из дисперсии.

Определение. Модой М0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум.

Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется Двухмодальным или Многомодальным .

Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется Антимодальным .

Определение. Медианой MD случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.

Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.

Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.

Определение. Начальным моментом Порядка K Случайной величины Х называется математическое ожидание величины ХK .

Для дискретной случайной величины: .

.

Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию.

Определение. Центральным моментом Порядка K случайной величины Х называется математическое ожидание величины

Для дискретной случайной величины: .

Для непрерывной случайной величины: .

Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а центральный момент второго порядка равен дисперсии. Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения.

Определение. Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в третьей степени называется Коэффициентом асимметрии .

Определение. Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая Эксцессом .

Кроме рассмотренных величин используются также так называемые абсолютные моменты:

Абсолютный начальный момент: .

Абсолютный централь Ный момент: .

Абсолютный центральный момент первого порядка называется Средним арифметическим отклонением .

Пример. Для рассмо Ренного выше примера определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Пример. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее пять раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают обратно и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х число извлеченных белых шаров, составить закон распределения этой величины, определить ее математическое ожидание и дисперсию.

Т. к. шары в каждом опыте возвращаются обратно и перемешиваются, то испытания можно считать независимыми (результат предыдущего опыта не влияет на вероятность появления или непоявления события в другом опыте).

Таким образом, вероятность появления белого шара в каждом опыте постоянна и равна

Таким образом, в результате пяти последовательных испытаний белый шар может не появиться вовсе, появиться один раз, два, три, четыре или пять раз.

Для составления закона распределения надо найти вероятности каждого из этих событий.

1) Белый шар не появился вовсе:

2) Белый шар появился один раз:

3) Белый шар появиться два раза: .

4) Белый шар появиться три раза:

Определение . Случайной величиной называется числовая величина, значение которой зависит от того, какой именно элементарный исход произошел в результате эксперимента со случайным исходом. Множество всех значений, которые случайная величина может принимать, называют множеством возможных значений этой случайной величины.

Случайные величины обозначают: X , Y 1 , Z i ; ξ , η 1 , μ i , а их возможные значения - x 3 , y 1k , z ij .

Пример . В опыте с однократным бросанием игральной кости случайной величины является число X выпавших очков. Множество возможных значений случайной величины X имеет вид

{x 1 =1, x 2 =2, …, x 6 =6 }.

Имеем следующее соответствие между элементарными исходами ω и значениями случайной величины X :

То есть каждому элементарному исходу ω i , i=1, …, 6 , ставится в соответствие число i .

Пример . Монету подбрасывают до первого появления «герба». В этом опыте можно ввести, например, такие случайные величины: X - число бросаний до первого появления «герба» с множеством возможных значений {1, 2, 3, … } и Y - число «цифр», выпавших до первого появления «герба», с множеством возможных значений {0, 1, 2, …} (ясно, что X=Y+1 ). В данном опыте пространство элементарных исходов Ω можно отождествить с множеством

{Г, ЦГ, ЦЦГ, …, Ц…ЦГ, … },

причем элементарному исходу {Ц … ЦГ } ставится в соответствие число m+1 или m , где m - число повторений буквы «Ц».

Определение . Скалярную функцию X(ω) , заданную на пространстве элементарных исходов, называют случайной величиной, если для любого x∈ R {ω:X(ω) < x} является событием.

Функция распределения случайной величины

Для исследования вероятностных свойств случайной величины необходимо знать правило, позволяющее находить вероятность того, что случайная величина примет значение из подмножества ее значений. Любое такое правило называют законом распределения вероятностей или распределением случайной величины.

Общим законом распределения, присущим всем случайным величинам, является функция распределения.

Определение . Функция распределения (вероятностей) случайной величины X называют функцию F(x) , значение которой в точке x равно вероятности события {X < x} , то есть события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω , для которых X(ω) < x :

F(x) = P{X < x} .

Обычно говорят, что значение функции распределения в точке x равно вероятности того, что случайная величина X примет значение, меньшее x .

Теорема . Функция распределения удовлетворяет следующим свойствам:

Типичный вид функции распределения.

Дискретные случайные величины

Определение . Случайную величину X называют дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно.

Определение . Рядом распределения (вероятностей) дискретной случайной величины X называют таблицу, состоящую из двух строк: в верхней строке перечислены все возможные значения случайной величины, а в нижней - вероятности p i =P\{X=x i \} того, что случайная величина примет эти значения.

Для проверки правильности составления таблицы рекомендуется просуммировать вероятности p i . В силу аксиомы нормированности:

По ряду распределения дискретной случайной величины можно построить ее функцию распределения F(x) . Пусть X - , заданная своим рядом распределения, причем x 1 < x 2 < … < x n . Тогда для всех x ≤ x 1 событие {X < x} является невозможным, следовательно, по определению F(x)=0 . Если x 1 < x≤ x 2 , то событие {X < x} состоит из тех и только тех элементарных исходов, для которых X(ω)=x 1 . Следовательно, F(x)=p 1 . Аналогично, при x 2 < x ≤ x 3 событие {X < x} состоит из элементарных исходов ω , для которых либо X(ω)=x 1 , либо X(ω)=x 2 , то есть {X < x}={X=x 1 }+{X=x 2 } . Следовательно, F(x)=p 1 +p 2 и т.д. При x > x n событие {X < x} достоверно, тогда F(x)=1 .

Закон распределения дискретной случайной величины можно задать также аналитически в виде некоторой формулы или графически. Например, распределение игральной кости описывается формулой

P{X=i} = 1/6 , i=1, 2, …, 6 .

Некоторые дискретные случайные величины

Биномиальное распределение. Дискретная случайная величина X распределена по биномиальному закону, если она принимает значения 0, 1, 2, …, n в соответствии с распределением, заданным формулой Бернулли:

Это распределение является не чем иным, как распределения числа успехов X в n испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха p и неудачи q=1-p .

Распределение Пуассона. Дискретная случайная величина X распределена по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями

где λ > 0 - параметр распределения Пуассона.

Распределение Пуассона также называют законом редких событий, так как оно всегда проявляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с малой вероятностью происходит «редкое» событий.

В соответствие с законом Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших в течение суток на телефонную станцию; число метеоритов, упавших в определенном районе; число распавшихся частиц при радиоактивном распаде вещества.

Геометрическое распределение. Снова рассмотрим схему Бернулли. Пусть X - число испытаний, которое необходимо провести прежде, чем появится первый успех. Тогда X - дискретная случайная величина, принимающая значения 0, 1, 2, …, n , … Определим вероятность события {X=n} .

• X=0 , если в первом испытании произойдет успех, следовательно, P{X=0}=p .
• X=1 , если в первом испытании произойдет неудача, а во втором - успех, то P{X=1}=qp .
• X=2 , если в первых двух испытаниях - неудача, а в третьем - успех, то P{X=2}=q 2 p .
• Продолжая процедуру, получим P{X=i}=q i p , i=0, 1, 2, …

  Случайную величину с таким рядом распределения называют распределенной согласно геометрическому закону.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Одним из важнейших понятий теории вероятности (наряду со случайным событием и вероятностью) является понятие случайной величины.

Определение. Под случайной величиной понимаю величину, которая в результате опыта принимает то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Cлучайные величины (сокращенно с.в.) обозначаются прописными латинскими буквами X, Y, Z ,… (или строчными греческими буквами x (кси), h(эта), q (тэта), y(пси) и т.д.), а их возможные значения – соответствующими строчными буквами х , у , z .

Примерами с.в. могут служить: 1) число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2, ..., 100;

2) расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин (силы и направления ветра, температуры и т.д.), которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (а , b ).

3) Х – число очков, появляющихся при бросании игральной кости;

4) Y – число выстрелов до первого попадания в цель;

5) Z – время безотказной работы прибора и т.п. (рост человека, курс доллара, количество бракованных деталей в партии, температура воздуха, выигрыши игрока, координата точки при случайном выборе ее на , прибыль фирмы, …).

В первом примере случайная величина X могла принять одно из следующих возможных значений: 0, 1, 2, . . ., 100. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений X . Таким образом, в этом примере случайная величина принимает отдельные, изолированные возможные значения. Во втором примере случайная величина могла принять любое из значений промежутка (а , b ). Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины.

Уже из сказанного можно заключить о целесообразности различать случайные величины, принимающие лишь отдельные, изолированные значения, и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.

Определение. Дискретной (прерывной) называют случайную величину (сокращено д.с.в.), которая принимает отдельные, счетные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Определение. Если же множество возможных значений с.в. несчетно, то такая величина называется непрерывной (сокращенно н.с.в.). Непрерывная случайная величина может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Случайные величины X и Y (примеры 3 и 4) являются дискретными. С.в. Z (пример 5) является непрерывной: ее возможные значения принадлежат промежутку }